大学等の卒業証書や学位記、医師免許証などの原本に、領事認証もしくはアポスティーユを受けることは可能です。ただし、一度、領事認証もしくはアポスティーユを受けた文書に再度認証を取得できません。そのため、卒業証書や学位記などに直接認証を受けてしまうと、同じ国に提出するか他国に提出するかにかかわらず、その卒業証書・学位記には今後二度と認証をうけることができなくなります。
通常は大学等から卒業証明書の交付を受けてその卒業証明書に領事認証もしくはアポスティーユ等を受けます。卒業証明書は、大学の種類によって直接外務省の公印確認を受けることができるものと、私文書として公証人の認証から受けなければならないものがあります。
外務省が証明できる書類の種類 >> 外務省ウェブサイト：公印確認・アポスティーユ 証明できる書類
提出先がどうしても「卒業証書」や「学位記」でないと受け付けない等の場合には、「パスポート認証」と同様に「この（卒業証書）のコピーは、私が○○大学から交付をうけた卒業証書原本のコピーに相違ない」という文章（宣言文）に記名・署名をし、卒業証書等のコピーを合綴した「宣言書（Declaration）」にして認証をうけることが多いです。
宣言文に使用する言語は一般的に英語が多いですが、提出先の指示に従ってください。提出先国内での翻訳が必要な場合には、日本語で作成するほうがいいかと思います。
なお、コンビニエンスストア等で「POPITA」や「証明書学外発行サービス」を利用して交付された卒業証明書については、現在のところ外務省の証明を受けることができません。そのため、海外の機関に提出するための卒業証明書は、卒業校へ申請して交付を受けてください。